Question

pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x*y=xy-6x-6y+42 arătați că legea este asociativă​

Answer 1

$\mathbb{R}$

$x*y = xy - 6x - 6y + 42$

Asociativitate

$\forall \: \: x,y,z \in \: \mathbb{R} \: \: (x*y)*z = x*(y*z)$

$(x*y)*z = (xy - 6x - 6y + 42)*z$

Notăm xy-6x-6y+42 cu t

$= t*z = tz - 6t - 6z + 42$

$= z(xy - 6x - 6y + 42) - 6(xy - 6x - 6y + 42) - 6z + 42$

$= xyz - 6xz - 6yz + 42z - 6xy + 36x + 36y - 252 - 6z + 42$

$= xyz - 6xy - 6xz - 6yz + 36x + 36y + 36z - 110 \: \: (1)$

$x*(y*z) = x*(yz - 6y - 6z + 42)$

Notăm yz-6y-6z+42 cu t

$= x*t = xt - 6x - 6t + 42$

$= x(yz - 6y - 6z + 42) - 6x - 6(yz - 6y - 6z + 42) + 42$

$= xyz - 6xy - 6xz + 42x - 6x - 6yz + 36y + 36z - 252 + 42$

$= xyz - 6xy - 6xz - 6yz + 36x + 36y + 36z - 110 \: \: (2)$

Din (1)=(2)=>"*" asociativă