Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=x y-x-y+2$.

5p a) Arătați că $x \circ y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

$5 p$ b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x \leq 5$.

$5 p$ c) Calculați $1^{n} \circ 2^{n} \circ 3^{n} \circ \ldots \circ 2020^{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Answer 1

$x \circ y=x y-x-y+2$

a)

$x \circ y=x y-x-y+2=xy-x-y+1+1$

Dam factor comun intre primii doi pe x , apoi vom da factor comun pe (y-1)

$x \circ y=xy-x-y+1+1=x(y-1)-(y-1)+1=(y-1)(x-1)+1=(x-1)(y-1)+1$

b)

$x \circ x=x^2-x-x+2=x^2-2x+2$

x²-2x+2≤5

x²-2x-3≤0

Calculam delta

a=1 b=-2 si c=-3

Δ=b²-4ac=4+12=16

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{2+4}{2} =3\\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{2-4}{2} =-1$

Facem tabel semn

x                -∞          -1                3             +∞

x²-2x-3      + + + + +0- - - - - - - 0 + + + + +

Pentru ca x²-2x-3≤0, atunci intre -1 si 3 avem semn "-"

x∈[-1,3]

c)

Calculam mai intai elemntual absorbant, $x\circ a=a$

$xa-x-a+2=a\\\\xa-x-2a+2=0\\\\x(a-1)-2(a-1)=0\\\\(a-1)(x-2)=0\\\\a-1=0\\\\a=1$

Elementul absorbant este a=1

1ⁿ=1

Adica

$1^n\circ 2^n=1\\\\(1^n\circ 2^n)\circ 3^n=1\circ 3^n=1$

.....

$1^n\circ 2^n\circ 3^n\circ...\circ 2020^n=1$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici:  https://brainly.ro/tema/2981754

#BAC2022

#SPJ4