Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă şi cu element neutru $x * y=x+y-\frac{x y}{3}$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $1 * 3=3$.

$5 p$ b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * x * x=\frac{26}{9}$.

$5 p$ c) Determinaţi numerele naturale $n$ ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție ,"*" sunt numere naturale.

Answer 1

$x * y=x+y-\frac{x y}{3}$

a) Il vom inlocui pe x cu 1 si pe y cu 3 si obtinem:

$1 * 3=1+3-\frac{1\times3}{3}=1+3-1=3$

b)

Calculam x*x

$x * x=x+x-\frac{x ^2}{3}=2x-\frac{x ^2}{3}=\frac{6x-x^2}{3} \\\\(\frac{6x-x^2}{3} )*x=\frac{6x-x^2}{3} +x-\frac{\frac{6x-x^2}{3} \times x}{3} =\frac{18x-3x^2+9x-6x^2+x^3}{9} \\\\\frac{18x-3x^2+9x-6x^2+x^3}{9}=\frac{26}{9}$

Avem acelasi numitor comun, deci vom elimina numitorul si vom obtine:

x³-9x²+27x=26

x³-3x²+27x-26=0

x³-3x²+27x-27+1=0

Avvem urmatoare formula de calcul prescurtat:

(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³

(x-3)³=x³-9x²+27x-27

Deci x³-3x²+27x-27+1=0

(x-3)³+1=0

(x-3)³=-1

x-3=-1

x=2

c)

Elementul neutru:

x*e=x

$x+e-\frac{x e}{3}=x$

Aducem la acelasi numitor comun 3

3x+3e-xe=3x

3e-xe=0

e(3-x)=0

e=0

Elementul simetric:

n*n'=e

$n+n'-\frac{nn'}{3}=e\\\\n+n'-\frac{nn'}{3}=0$

Aducem la acelasi numitor comun 3

3n+3n'-nn'=0

n'(3-n)=-3n   |×(-1)

n'(n-3)=3n

$n'=\frac{3n}{n-3}$

Cum n si n' sunt numere naturale ⇒ n-3 | 3n

n-3 | 3n

n-3 | n-3    |×3

n-3 | 3n

n-3 | 3n-9

Le scadem:

n-3 | 9

n-3={1,-1,3,-3,9,-9}

n-3={4,2,6,0,12,-6}

Dar n si n' ∈N

n={0,4,6,12}

Un exercitiu similar de bac gasesti aici:  https://brainly.ro/tema/722385

#BAC2022

#SPJ4