Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $x * y=x y-\sqrt{2} x-\sqrt{2} y+\sqrt{2}+2$.
5p 1. Arătați că $\sqrt{2} *(-\sqrt{2})=\sqrt{2}$.
5p 2. Demonstrați că $x * y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.
5p 3. Verificați dacă [tex]$e=1+\sqrt{2}$[tex] este elementul neutru al legii de compoziţie , [tex]$* "$[tex].
5p 4. Determinaţi numerele reale $a [tex] pentru care [tex] a * a=2+\sqrt{2}$.
$5 p$ 5. Determinați numerele reale $x$ pentru care $4^{x} * 2^{x}=\sqrt{2}$.
5p 6. Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $(x+\sqrt{2}) *(x-\sqrt{2}) \leq \sqrt{2}$.

Answer 1

$x * y=x y-\sqrt{2} x-\sqrt{2} y+\sqrt{2}+2$

1)

√2*(-√2)=√2

Il inlocuim pe x cu √2 si pe y cu -√2 si obtinem:

-2-2+2+√2+2=√2

2)

$x y-\sqrt{2} x-\sqrt{2} y+\sqrt{2}+2=x y-\sqrt{2} x-\sqrt{2} y+2+\sqrt{2}=x(y-\sqrt{2})-\sqrt{2}(y-2)+\sqrt{2} =(y-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}$

3)

Elementul neutru

x*e=x

$x e-\sqrt{2} x-\sqrt{2} e+\sqrt{2}+2=x\\\\(x-\sqrt{2})(e-\sqrt{2})+\sqrt{2} =x\\\\ (x-\sqrt{2})(e-\sqrt{2})-(x-\sqrt{2})=0\\\\ (x-\sqrt{2})(e-\sqrt{2}-1)=0 \\\\e-\sqrt{2}-1=0\\\\e=1+\sqrt{2}$

4)

a*a=2+√2

$(a-\sqrt{2}) (a-\sqrt{2}) +\sqrt{2}=2+\sqrt{2} \\\\(a-\sqrt{2})^2=2\\\\ a-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\\\\ a=0\\\\ \\a-\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\\ a=2\sqrt{2}$

5)

$4^x*2^x=\sqrt{2}\\\\ (4^x-\sqrt{2})(2^x-\sqrt{2})+\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\\ (4^x-\sqrt{2})(2^x-\sqrt{2})=0\\\\4^x-\sqrt{2}=0\\\\4^x=2^{\frac{1}{2} }\\\\2x=\frac{1}{2}\\\\ x=\frac{1}{4} \\\\\\2^x-\sqrt{2}=0\\\\2^x=\sqrt{2} \\\\x=\frac{1}{2}$

6)

$(x+\sqrt{2} )*(x-\sqrt{2})\leq \sqrt{2}\\\\x\cdot (x-2\sqrt{2})+\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\\\\x\cdot (x-2\sqrt{2})\leq 0$

x=0 si x=2√2

Facem tabel semn

x                   -∞        0       2√2       +∞

x(x-2√2)    + + + + + 0- - - - 0+ + + ++

x∈[0,2√2]

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4728041

#BAC2022

#SPJ4