Question

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $x \circ y=2 x y-2(x+y)$.

5p 1. Arătați că $(-1) \circ 1=-2$.

5p 2. Arătați că legea de compoziție , $\circ "$ este comutativă.

5p 3. Demonstrați că $x \circ y=2(x-1)(y-1)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p 4. Determinați numărul real $x$ pentru care $2 \circ 2^{x}=0$.

5p 5. Arătați că $(x+1) \circ(2 x-1)\ \textgreater \ -4$, pentru orice număr real $x$.

5p 6. Determinați perechile de numere naturale $(m, n)$, știind că $m \circ n=12$.

Answer 1

$x \circ y=2 x y-2(x+y)$

1)

-1 °1=-2

Inlocuim pe x cu -1 si pe y cu 1

-1°1=2×(-1)×1-2(-1+1)

-1°1=-2-0=-2

2)

Lege comutativa

x*y=y*x

$2 x y-2(x+y)=2yx-2(y+x)\\\\2xy-2x-2y=2yx-2y-2x\\\\Adevarat$

3)

2xy-2(x+y)=2xy-2x-2y=2xy-2x-2y+2-2=2x(y-1)-2(y-1)-2=(y-1)(2x-2)-2=2(x-1)(y-1)-2

4)

$2\circ 2^x=0\\\\2\cdot 2\cdot 2^x-2(2+2^x)=0\\\\4\cdot 2^x-4-2\cdot 2^x=0\\\\2\cdot 2^x=4\\\\2^x=2\\\\x=1$

5)

(x+1)°(2x-1)=2(x+1)(2x-1)-2(x+1+2x-1)

(x+1)°(2x-1)=2(x+1)(2x-1)-6x=4x²-2x+4x-2-6x=4x²-4x-2

4x²-4x-2>-4

4x²-4x+2>0

(2x-1)²>0 Adevarat pentru ca orice numar la o putere para este un numar pozitiv

6)

m°n=12

2(m-1)(n-1)-2=12

2(m-1)(n-1)=14

(m-1)(n-1)=7

7 fiind numar prim se poate scrie ca 1×7 sau 7×1 sau -1×(-7) sau -7×(-1)

Caz 1:

m-1=1

m=2

n-1=7

n=8

Caz 2:

m-1=7

m=8

n-1=1

n=2

Caz 3:

m-1=-1

m=0

n-1=-7

n=-6<0 NU

Caz 4:

m-1=-7

m=-6<0 NU

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2807736

#BAC2022