Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $x * y=x y-5(x+y)+30$.

5p 1. Arătaţi că $0 * 5=5$.

5p 2. Demonstrați că $x * y=(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p 3. Verificaţi dacă $e=6$ este elementul neutru al legii de compoziţie,,* $*$.

$5 p$ 4. Determinaţi numerele reale $x$, știind că $(x-1) *(x+1)=8$.

5p 5. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $5^{x^{2}} * 5^{x^{2}}=5$.

5p 6. Dați exemplu de numere raționale $p$ și $q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $p * q$ este intreg.

Answer 1

$x * y=x y-5(x+y)+30$

1)

Inlocuim pe x cu 0 si pe y cu 5 si obtinem:

0-5×5+30=-25+30=5

2)

xy-5(x+y)+30=xy-5x-5y+25+5=x(y-5)-5(y-5)+5=(y-5)(x-5)+5

3)

Elementul neutru

x*e=x

(x-5)(e-5)+5=x

(x-5)(e-5)-(x-5)=0

(x-5)(e-5-1)=0

e-6=0

e=6

4)

(x-1)*(x+1)=8

(x-6)(x-4)+5=8

x²-10x+24+5-8=0

x²-10x+21=0

Δ=100-84=16

$x_1=\frac{10+4}{2} =7\\\\x_2=\frac{10-4}{2}=3$

5)

$(5^{x^2}-5)(5^{x^2}-5)+5=5\\\\(5^{x^2}-5)(5^{x^2}-5)=0\\\\5^{x^2}-5=0\\\\5^{x^2}=5\\\\x^2=1\\\\x=1\\x=-1$

6)

(p-5)(q-5)+5 este numar intreg

⇒(p-5)(q-5) ∈Z

$\frac{7}{2}\cdot \frac{2}{7} =1\\\\p-5=\frac{7}{2}\\\\ p=\frac{17}{2} \\\\q-5=\frac{2}{7} \\\\q=\frac{37}{7}$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4587902

#BAC2022

#SPJ4