Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă şi cu element neutru $x * y=\frac{x y}{3}-x-y+6$.

5p a) Arătați că $(-1) * 3=3$.

5p b) Arătați că $x *(y+z-3)=(x * y)+(x * z)-3$, pentru orice numere reale $x, y$ și $z$.

$5 p$ c) Determinaţi numerele reale $x, x \neq 3$ pentru care $\left(x *\left(x+x^{\prime}-3\right)\right)+\left(x^{\prime} *(2 x-3)\right)=42$, unde $x^{\prime}$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție , *".

Answer 1

$x * y=\frac{x y}{3}-x-y+6$

a)

Inlocuim pe x cu -1 si pe y cu 3 si obtinem:

$\frac{-3}{3}+1-3+6=-1+1-3+6=3$

b)

$x*(y+z-3)=\frac{x(y+z-3)}{3} -x-y-z+3+6=\frac{xy}{3}+\frac{xz}{3} -x-x-y-z+9=\\\\\=\frac{xy}{3}+\frac{xz}{3} -2x-y-z+9$

$x * y+ x*z-3=\frac{x y}{3}-x-y+6+\frac{x z}{3}-x-z+6-3=\frac{x y}{3}+\frac{x z}{3}-2x-y-z+9$

Observam ca cele doua relatii sunt egale

c)

$x*(x+x'-3)+(x'*(2x-3))=42$

Aflam elementul neutru

x*e=x

$x * e=\frac{x e}{3}-x-e+6=x$

Aducem la acelasi numitor comun 3

xe-3x-3e+18=3x

xe-6x-3e+18=0

x(e-6)-3(e-6)=0

(e-6)(x-3)=0

e=6

Aflam elementul simetric

x*x'=e

$\frac{x x'}{3}-x-x'+6=6\\\\\frac{x x'}{3}-x-x'=0$

xx'-3x-3x'=0

x'(x-3)=3x

$x'=\frac{3x}{x-3}$

Ne folosim de punctul b si vom avea:

$x*(x+x'-3)=x*x+x*x'-3=x*x+6-3=x*x+3\\\\(x'*(2x-3))=x'*(x+x-3)=x'*x+x'*x-3=6+6-3=9$

Deci  $x*(x+x'-3)+(x'*(2x-3))=x*x+3+9=42\\\\x*x=30\\\\\frac{x^2}{3}-2x+6=30$

x²-6x-72=0

Δ=36+288=324

$x_1=\frac{6+18}{2} =12\\\\x_2=\frac{6-18}{2} =-6$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905542

#BAC2022

#SPJ4