Question

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $x \circ y=2 x y+2 x+2 y$.

5p 1. Arătați că $1 \circ 2=10$.

5p 2. Demonstrați că $x \circ y=2(x+1)(y+1)-2$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 3. Arătați că $x \circ(-1)=-2$, pentru orice număr real $x$.

5p 4. Determinați $x \in(0,+\infty)$ pentru care $\log _{2} x \circ \log _{2} x=-2$.

5p 5. Arătați că $(2 x+1) \circ x \geq-2$, pentru orice număr real $x$.

5p 6. Determinatii numerele naturale $m$ şi $n, m\ \textless \ n$, pentru care $m \circ n=10$.

Answer 1

$x \circ y=2 x y+2 x+2 y$

1)

Inlocuim pe x cu 1 si pe y cu 2

1°2=4+2+4=10

2)

2xy+2x+2y=2xy+2x+2y+2-2=2x(y+1)+2(y+1)-2=2(x+1)(y+1)-2

3)

x°(-1)=-2

-2x+2x-2=-2

-2=-2

4)

$log_2x\circ log_2x=-2\\\\2(log_2x+1)(log_2x+1)-2=-2\\\\2(log_2x+1)(log_2x+1)=0\\\\(log_2x+1)(log_2x+1)=0\\\\log_2x+1=0\\\\log_2x=-1\\\\x=\frac{1}{2}$

5)

$(2x+1)\circ x\geq -2\\\\2(2x+1+1)(x+1)-2\geq -2\\\\4(x+1)^2\geq 0\\\\(x+1)^2\geq 0$

6)

$m\circ n=10\\\\2(m+1)(n+1)-2=10\\\\2(m+1)(n+1)=12\\\\(m+1)(n+1)=6$

m+1=3 si n+1=2

m=2 si n=1 NU

m+1=2 si n+1=3

m=1 si n=2

m+1=1 si n+1=6

m=0 si n=5

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919030

#BAC2022

#SPJ4