Question

Pe mulțimea $G=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\sqrt{x^{2} y^{2}-x^{2}-y^{2}+2}$.

5p a) Arătați că $x * y=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-1\right)+1}$, pentru orice $x, y \in G$.

$5 p$ b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție , $* "$.

$5 p$ c) Ştiind că $(G, *)$ este grup, demonstrați că funcția $f: M \rightarrow G, f(x)=\sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $(M, \cdot)$ la grupul $(G, *)$, unde $M=(0,+\infty)$ și ,, " reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

Answer 1

$x * y=\sqrt{x^{2} y^{2}-x^{2}-y^{2}+2}$

a)

Luam separat membrii de sub radical

x²y²-x²-y²+2

Dam factor comun intre primii 2 termeni pe x² si pe 2 il scriem ca 1+1

x²(y²-1)-y²+1+1=x²(y²-1)-(y²-1)+1

Dam factor comun pe y²-1

(y²-1)(x²-1)+1

Deci vom avea:

$x * y=\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+1}$

b)

Elementul neutru:

x*e=x

$x * e=\sqrt{(x^2-1)(e^2-1)+1}=x$

Ridicam la patrat in stanga si in dreapta

(x²-1)(e²-1)+1=x²

(x²-1)(e²-1)=x²-1

(x²-1)(e²-1)-(x²-1)=0

Dam factor comun pe x²-1

(x²-1)(e²-2)=0

e²-2=0

e²=2

e=±√2

Dar e∈(1,+∞)⇒e=√2

c)

Izomorfism=au aceleași proprietăți intrinseci: orice proprietate a elementelor primei structuri se transpune pe cea de-a doua prin izomorfismul stabilit

f(x)*f(y)=f(xy)

$f(x) *f( y)=\sqrt{(f^2(x)-1)(f^2(y)-1)+1}=\sqrt{(x+1-1)(y+1-1)+1}=\sqrt{xy+1} =f(xy)$ (1)

√x+1 >0⇒ f este crescatoare pe (0,+∞)    (2)

$\lim_{x \to 0} \sqrt{x+1} = 1$    (3)

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x+1} =+\infty$   (4)

Din (1) (2) (3) si (4)⇒ functia f este izomorfism de la grupul (M,·) la grupul (G,*)

Un exercitiu similar cu legi de compozitie gasesti aici:https://brainly.ro/tema/4071578

#BAC2022

#SPJ4