Question

Pe mulțimea $M=(0,+\infty)$ se defineşte legea de compoziție asociativă $x * y=\frac{x y+1}{x+y}$.
$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $1 * 1=1$.
$5 p$ b) Determinați numărul $x \in M$ pentru care $x * 2=\frac{3}{2}$.
5p c) Calculați $\lg 2 * \lg 4 * \lg 6 * \lg 8 * \lg 10$.

Answer 1

$x * y=\frac{x y+1}{x+y}$

a)

Pentru a calcula 1*1 trebuie sa inlocuim pe x cu 1 si pe y cu 1

$1 * 1=\frac{1\times 1+1}{1+1}=\frac{2}{2} =1$

b)

Calculam x*2

$x * 2=\frac{x \times 2+1}{x+2}=\frac{2x+1}{x+2} \\\\\frac{2x+1}{x+2} =\frac{3}{2}$

Egalam produsul mezilor cu produsul extremilor

4x+2=3x+6

x=4

c)

Calculam elementul absorbant

x*a=a

$x * a=\frac{xa+1}{x+a}=a$

xa+1=xa+a²

a²=1

a=-1<0 nu

a=1

Observam ca lg10=1

Atunci avem:

(lg2*lg4*lg6*lg8)*lg10=(lg2*lg4*lg6*lg8)*1=1

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/2424421

#BAC2022

#SPJ4