Question

Pe mulțimea $M=(-10,10)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\frac{100(x+y)}{x y+100}$.

5p a) Arătați că $3 * 0=3$.

$5 \mathbf{p}$ b) Se consideră $f: M \rightarrow(0,+\infty), f(x)=\frac{10-x}{10+x}$. Demonstrați că $f(x * y)=f(x) f(y)$, pentru orice $x, y \in M$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinați $x \in M$ pentru care $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{\text {de11 ori } x}=0$.

Answer 1

$x * y=\frac{100(x+y)}{x y+100}$

a)

Pentru a calcula 3*0 va trebui sa inlocuim pe x cu 3 si pe y cu 0

$3 *0=\frac{100(3+0)}{3\times 0+100}=\frac{300}{100}=3$

b)

Calculam f(x*y)

$f(x*y)=f(\frac{100(x+y)}{x y+100})=\frac{10-\frac{100(x+y)}{x y+100}}{10+\frac{100(x+y)}{x y+100}} =\frac{\frac{10xy+1000-100x-100y}{xy+100} }{\frac{10xy+1000+100x+100y}{xy+100}}$

Se reduc numitorii xy+100 si ne ramane:

$f(x*y)=\frac{10xy+1000-100x-100y}{10xy+1000+100x+100y}$

Simplificam cu 10 fractia si ne ramane:

$f(x*y)=\frac{xy+100-10x-10y}{xy+100+10x+10y}=\frac{x(y-10)-10(y-10)}{x(10+y)+10(y+10)} =\frac{(x-10)(y-10)}{(x+10)(y+10)}$

Acum vom calcula f(x)×f(y)

$f(x)\times f(y)=\frac{10-x}{10+x} \times \frac{10-y}{10+y} =\frac{(x-10)(y-10)}{(x+10)(y+10)}=f(x*y)$

Observam ca f(x)×f(y)=f(x*y)

c)

Ne folosim de punctul b

f(x*y)=f(x)f(y)

Atunci f(x*x)=f(x)f(x)=(f(x))²

Din enunt x*x*x...*x=0, de 11 ori compus

Atunci f(x*x*x...*x)=f(0), de 11 ori compus

f(x*x*...*x)=(f(x))¹¹

(f(x))¹¹=f(0)

Calculam f(0)

$f(0)=\frac{10-0}{10+0} =1$

Deci (f(x))¹¹=1 ⇒f(x)=1

$\frac{10-x}{10+x} =1$

10-x=10+x

10-10=2x

x=0

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4711195

#BAC2022

#SPJ4