Question

Pe multimea Z se considera operațiile algebrice X⊥y=x+y+2 si XTy=2x +2y +2 . Sa se arate ca ( Z ,⊥, T , ) este un inel comutativ.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Vad ca ai primit ca raspuns definitia inelului de pe internet, asa ca o sa iti rezolv eu. Din pacate, nu se poate demonstra ca este inel, deoarece asa cum ai scris legea de compozitie "T", nu este nici asociativa, si nu are nici element neutru. Daca intre timp pui un mesaj si corectezi, o sa iti continui partea a doua a demonstratiei.

1. (Z , ⊥) = grup comutativ, adica :

a) oricare ar fi x si y ∈ Z, x ⊥ y ∈ Z (Z este inchis in raport cu legea de compozitie)

x ⊥ y = x + y + 2. Cum x , y ∈ Z ⇒ x + y + 2 ∈ Z, deci  x ⊥ y ∈ Z

b) oricare ar fi x, y si z ∈ Z , (x ⊥ y ) ⊥ z = x ⊥ (y ⊥ z) (legea de compozitie este asociativa)

(x ⊥ y ) ⊥ z = (x + y + 2) ⊥ z = (x + y + 2) + z + 2 = x + y + 2 + z + 2 =  x + (y + z + 2)  + 2 =  = x +  (y ⊥ z) + 2  = x ⊥ (y ⊥ z)

c) Exista elementul e ∈ z astfel incat e ⊥ x = x ⊥ e = x, oricare ar fi x ∈ Z  (legea de compozitie are element neutru)

Intradevar, fir e = -2 ∈ Z

-2 ⊥ x = -2 + x + 2 = 0

x ⊥ (-2) = x + (-2) + 2 = x - 2 + 2 = x

d) Oricare ar fi x ∈ Z, exista y ∈ Z astfel incat x ⊥ y = y ⊥ x = e (element simetric)

Intradevar, pentru x ∈ Z, consideram y = - x - 4 ∈ Z

(-x - 4) ⊥ x = (-x - 4) + x + 2 = -x - 4 + x + 2 = -2 = e

x ⊥ (-x - 4) = x + (-x - 4) + 2 = x - x - 4 + 2 = -2 = e

e) Oricare ar fi x si y ∈ Z, avem x ⊥ y = y ⊥ x (legea de compozitie este comutativa)

x ⊥ y = x + y + 2 = y + x + 2 =  y ⊥ x