Question

pe mulțimea Z se definește legea de compoziție x*y=5xy+6x+6y+6,oricare x. y €Z. rezolvați ecuația x*x*...... *x=-1
(​De 2009 ori x)

Answer 1

Răspuns:

nu ne-ai spus ca legea e ASOCIATIVA

x=-1

Explicație pas cu pas:

"se observa " ca

x*y=5(x+6/5) (y+6/5)-6/5

intr-adevar

5xy+6x+6y+36/5-6/5= ...=xy+6x+6y+6=x*y

atunci

x*x= 5(x+6/5)²

si x*x*x= 5²(x+6/5)³-6/5

...presupunem ca

x*x*...*x =5^(n-1) *(x+6/5)^n -6/5

de "n"  ori

am verificat deja pt n=2 si pt n=3

atunci

x*x*...*x              va fi, tinand cont ca e ASOCIATIVA

de "n+1" ori

x*x*..*x de n ori *x

adica

(5^(n-1) (x+6/5)^n-6/5) *x=

5 inmultit (5^(n-1) (x+6/5)^(n-1) -6/5+6/5) inmulti(x+6/5)-6/5

5^n (x+6/5)^(n-1) inmultit (x+6/5) -6/5=

5^n inmultit (x+6/5)^(n+1)-6/5=

5^(n+1-1)inmultit(x+6/5)^(n+1)-6/5

Pn⇒P(n+1)

egalitatea e demonstyrat prin inductie matemarica (fara asta nu iei punctajul maxim!!)

deci x*x*...*x de 2009 ori= 5^2008  inmultit (x+6/5)^2009-6/5

deci

5^2008  inmultit (x+6/5)^2009-6/5=-1

5^2008inmultit (x+6/5)^2009=1/5

(x+6/5)^2009=1/5^2009

puterea e empra, functia e injectiva are o singura solutie reala

extragem radical indicce 2009

x+6/5=1/5

x=-5/5

x=-1