Question

Pe perpendiculara în A pe planul hexagonului regulat ABCDEF cu latura de lungime "a" se considera un punct P. Știind ca tangenta unghiului format de dreapta PD cu planul hexagonului are valoarea de ( radical din 3 supra 2) se cere:
a) Perimetrul ABCDEF;
b) m ( c) d (P, CD).

Answer 1

a)Perimetrul hexagonului regulat de latura a este:
P=n×a, unde n=nr de laturi.
P(ABCDEF)=6×a
b) Hexagonul regulat are unghiurile egale cu 120° Atunci:
m(∡c) =120°
Sa calculam distanta d(P,CD):
PA fiind perpendiculara pe planul hexagonului va fi perpendculara pe orice dreapta din plan ce trece prin punctul A ce apartine planului.
Atunci PA⊥AD. Atunci AD este proiectia dreptei PD pe planul hexagonului. Deci unghiul facut de PD cu planul este ∡PDA=α
Stim ca tgα=√3/2
Dar ΔPAD=dreptunghic in A
Atunci tgα=PA/AD
AD=2a (diagonala in hexagonul regulat)
tgα=PA/2a
PA/2a=√3/2⇒PA=a√3
Luam punctul M la mijlocul lui CD, Atunci AM=mediana in  ΔACD.
Dar AC=AD, ca diagonale in hexagonul regulat
Atunci ΔACD=isoscel⇒AM=inaltime.
Deci AM⊥CD; dar si PA⊥AM (PA este ⊥pe toate dreptele din planul ABCDEF care trec prin A)
Atunci, conform teoremei celor trei perpendiculare, PM⊥CD
Atunci d(P,CD)=PM.
Calculam PM:
In Δ ACD, AC=a si CM=a/2
Atunci AM=√[a²-(a/2)²]=√(3a²/4)=a√3/2
Acum in ΔPAM, dreptunghic in A,
PM=√(PA²+AM²)=√[(a√3)²+(a√3/2)²]=√(3a²+3a²/4)=√(15a²/4)=a√15/2
d(P,CD)=a√15/2