Question

Pe planul dreptunghiului ABCD, AB>BC se ridică perpendiculara DM=12 cm, iar măsură unghiului MBA=45 grade, măsură unghiului MBC =60 grade. Se cere sa aflați AB si AC.

Answer 1

MD este perpendicular pe planul ABCD. Atunci, MD este perpendicular si pe dreapta AD, de unde rezulta ca triunghiul MDA este dreptunghic cu MDA=90 grade, catetele DM si AD si ipotenuza AM
Atunci
$AM^{2}=DM^{2}+AD^{2}$
MD este perpendicular si pe diagonala BD care face parte din planul ABCD. Atunci triunghiul MDB este dreptunghic cu MDB=90 grade, catetele BD si DM, si ipotenuza BM. Atunci
$BM^{2}=DM^{2}+BD^{2}$
Dar BD este diagolnala in triunghiul ABCD, atunci triunghiul ABD este dreptunghic cu BAD=90 grade, catetele AD si AB si ipotenuza BD, deci putem scrie cu regula lui Pitagora
$BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}$
Din ultimele 2 relatii rezulta atunci ca
$BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}$

Acum ne uitam la triunghiul MAB si vedem urmatoarea relatie
$BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=AM^{2}+AB^P2{$
Deci o latura la patrat din triunghi este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi. De aici, rezulta ca si MAB este triunghi dreptunghic cu unghiul MAB=90  si catetele AM si AB si ipotenuza MB. Stim ca unghiul MBA=45 grade, atunci stim ca triunghiul MAB este dreptunghic isoscel cu catetele egale, adica
$AM=AB\Rightarrow AM^{2}=AB^{2}\Rightarrow MD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$

Dreptunghiul ABCD mai are proprietatile:
BC=AD si AB=CD
CD apartine si ea planului ABCD, deci MD perpendicular pe CD, adica in triunghiul MDC este dreptunghic cu MDC=90 grade, catetel MD si CD si ipotenuza MC
$MC^{2}=MD^{2}+CD^{2}=MD^{2}+AB^{2}$
Ne uitam acum la triunghiul MBC si avem
$BM^{2}=DM^{2}+AB^{2}+AD^{2}=MC^{2}+BC^{2}$
Ceea ce inseamna ca si triunghiul MBC este dreptunghic cu catetele MC si BC si ipotenuza BM
Cosinusul unui unghi in triunghi dreptunghic este
$cos=\frac[cateta alaturata}{ipotenuza}$
Atunci
$\cos{MBC}=\cos{60}=\frac{1}{2}=\frac{BC}{BM}=\frac{AD}{BM}\Rightarrow \frac{AD^{2}}{BM^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow BM^{2}=DM^{2}+AD^{2}+AB^{2}=4AD^{2}$
Dar am demonstrat mai sus ca:
$AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}$ Atunci
$DM^{2}+AD^{2}+DM^{2}+AD^{2}=4AD^{2}\Rightarrow 2DM^{2}=2AD^{2}\Rightarrow AD=DM=12$
Si de aici putem afla si pe AB
$AB^{2}=MD^{2}+AD^{2}=12^{2}+12^{2}=2*12^{2}\Rightarrow AB=12\sqrt{2}$
In dreptunghi stim ca diagonalele sunt egale intre ele
AC=BD
Si atunci putem afla pe AC in functie de BD cu teorema lui Pitagora
$AC^{2}=BD^{2}=AD^{2}+AB^{2}=12^{2}+2*12^{2}=3*12^{2}\Rightarrow AC=12\sqrt{3}$