Question

Pe planul triunghiului echilateral ABC cu latura de 3 cm, considerăm perpendiculara în A pe care considerăm punctul M, astfel încât AM = 4 cm. Calculați lungimile segmentelor MB, MC şi ME, unde E este mijlocul lui (BC).​

Answer 1

analizăm ΔMAB și ΔMAC:

MA ⊥ (ABC)  ⇒  ∡MAB ≡ ∡MAC = 90°

MA latură comună

AB ≡ AC (triunghi echilateral)

⇒  ΔMAB ≡ ΔMAC  ⇒  MB ≡ MC

aflăm lungimea lor aplicând Pitagora în unul din cele două triunghiuri analizate mai sus:

MC² = MA² + AC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

MC = √25 = 5

(sau poți observa că ai numerele pitagoreice 3, 4, 5: dacă cele două catete sunt 3k și 4k, atunci ipotenuza este 5k)

MA ⊥ (ABC)  ⇒  ∡MAE = 90°

aflăm lungimea lui ME aplicând Pitagora în ΔMAE:

ME² = MA² + AE²

ME = √(MA² + AE²)

avem nevoie de lungimea lui AE, înălțime și mediană în triunghi echilateral. Aplicăm Pitagora generic, folosind ΔAEB dreptunghic în E, pentru că este un rezultat pe care îl vei folosi de multe ori și e bine să înțelegi demonstrația:

$\displaystyle h=\sqrt{l^{2} -\left(\frac{l}{2}\right)^{2} } =\sqrt{l^{2} -\frac{l^{2}}{4} } =\sqrt{\frac{3l^{2}}{4} } =\frac{l\sqrt{3} }{2}$

înlocuim cu datele din problemă:

⇒  AE = 3√3 / 2

revenim la ME:

$\displaystyle ME=\sqrt{4^{2} +\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} } =\sqrt{16+\frac{27}{4} } =\sqrt{\frac{64+27}{4} } =\frac{\sqrt{91} }{2}$

răspunsuri finale:

MB = MC = 5

ME = √91 / 2