Question

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura 6 cm se ridica perpendicularele AM si BN, cu BN=6 cm. Aflati lungimea AM astfel incat a) triunghiul MNC sa fie dreptunghic m(<MNC)=90 grade b) triunghiul MNC sa fie isoscel cu [MN]=[MC]

Answer 1

a) Daca BN⊥(ABC)⇒BN⊥BC⇒ΔBNC dreptunghic. Se calculeaza cu T. lui Pitagora NC²=6²+6²⇒NC=6√2cm. Daca AM⊥(ABC)⇒AM⊥AC⇒ΔMAC dreptunghic . Notam AM=x se calculeaza cu T. lui Pitagora in ΔMAC⇒MC²=x²+6²⇒MC=√(x²+36). Ducem ND⊥AM , D∈AM⇒ΔNDM dreptunghic cu ND=6cm si MD=x-6 .Prin T . lui Pitagora in ΔNDM⇒MN²=(x-6)²+6²⇒MN=√(x²-12x+72).  Se aplica T. lui Pitagora in ΔMNC⇒NC²+MN²=MC²⇒(6√2)²+√(x²-12x+72)²=   √(x²+36)²⇒72+x²-12x+72=x²+36⇒12x=108⇒x=9⇒AM=9cm  
b) Notam AM=y⇒prin T. lui Pitagora in ΔMAC , MC²=y²+6²⇒MC=√(y²+36) . Ducem NP⊥AM , P∈AM⇒ΔNPM dreptunghic cu NP=6cm si MP=y-6 . Prin T. lui Pitagora in ΔNPM⇒MN²=(y-6)²+6²⇒MN=√(y²-12y+72). Deoarece MN=MC⇒ √(y²-12y+72)=√(y²+36)⇒12y=36⇒y=3⇒AM=3cm.