Question

Pe planul triunghiului echilateral ABC de latura AB =18 cm se ridică planul triunghiului în centrul cercului circumscris triunghiului, MO este de 3 cm. Calculați distanta de la punctul M la toate laturile triunghiului. COROANA

Answer 1

Deoarece ΔABC este echilateral , centrul cercului circumscris O este si ortocentru si centru de greutate. Notam D,E,F mijloacele laturilor AB, BC si respectiv AC⇒ CD, AE si BF sunt si mediatoare si mediane si inaltimi . Deci CD∩AE∩BF={O} . Fiind inaltimi avem CD=AE=BF=AB√3/2=18√3/2=9√3cm .  Fiind mediane avem OD=OE=OF=(1/3)·9√3=3√3cm . Deoarece MO⊥(ABC)  ⇒  MO⊥OD;MO⊥OE;MO⊥OF ⇒ ΔMOD≡ΔMOE≡ΔMOF   (dreptunghice in cazul C.C.)⇒MD=ME=MF ; calculam una din ele cu T. lui Pitagora in ΔMOD :   MD²=MO²+OD²⇒MD²=3²+(3√3)²⇒MD²=36⇒MD=6cm⇒d(M;AB)=6cm . Analog d(M;BC)=d(M;AC)=6cm