Question

Pe R se considera legea de compozitie x steluta y =x+y-2 Demonstrati ca functia f:R-R , f(x)=x-2 este un izomorfism intre grupul (R,steluta ) si grupul aditiv al numerelor reale

Answer 1

$x*y=x+y-2$

$f(x)=x-2$

$f:(IR,*)-(IR,+)$

f(x*y)=f(x)+f(y)

M1: f(x*y)=x*y-2=x+y-2-2=x+y-4


M2: f(x)+f(y)=x-2+y-2=x+y-4


M1=M2 f este morfisim

Demonstram izomorfism

1)Injectivitatea

f(x)=f(y)

x-2=y-2

x=y (A) F ESTE INJECTIVA

2)Surjectivitatea

y ∈IR  exista un x∈IR cu proprietatea f(x)=y

x-2=y

x=y+2 ∈IR

Rezulta ca si f este surjectiva Din cele doua rezulta ca si f este bijectiva rezulta ca f este izomorfism