Question

Pe R se consideră legea de compoziție x∗y = xy - 2x - 2y + 6, ∀ x,y ∈ R.
a) Determinați elementul neutru al legii de compoziție.
b) Verificați dacă legea de compoziție este comutativă.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Pe R se consideră legea de compoziție x∗y = xy - 2x - 2y + 6, ∀ x,y ∈ R.

a)  există e∈R, astfel ca e*x=x*e=x

e*x=e·x-2e-2x+6=x, ⇒e·x-2·e=x+2x-6, ⇒ e·(x-2)=3x-6, ⇒e·(x-2)=3·(x-2), ⇒ e=3·(x-2)/(x-2), ⇒ e=3.

x*e=x·e-2x-2e+6=x, ⇒xe-2e=x+2x-6, ⇒ e·(x-2)=3x-6, ⇒ e·(x-2)=3·(x-2), ⇒ e=3·(x-2)/(x-2), ⇒ e=3

Așadar există e=3∈R, astfel că e*x=x*e=x pt. ∀x∈R.

Elementul neutru este e=3.

b)  legea de compoziție este comutativă dacă x*y=y*x, pentru ∀x, y∈R.

x*y=xy - 2x - 2y + 6

y*x=yx-2y-2x+6.

Deoarece xy - 2x - 2y + 6=yx-2y-2x+6, ⇒ x*y=y*x, pentru ∀x, y∈R, ⇒ legea de compoziție dată este comutativă.