Question

Pe R se definește legea de compoziție x*y=xy+(1-x)(1-y) a) sa se arate ca legea "" comutativa b) sa se arate ca legea "" este asociativă c) sa se rezolve in R ecuația (1-x)*x=0

Answer 1

a) x*y=xy+(1-x)(1-y) = xy+1-x-y+xy =2xy-x-y+1
Daca x*y = y*x  => legea este comutativa
(1)  x*y =2xy-x-y+1
(2)  y*x= 2yx-y-x+1 = 2xy -x=y+1 
Din (1) = (2)  => legea este comutativa

b)
Daca (x*y)*z = x*(y*z)  => legea este asociativa
(1)  (x*y)*z = (2xy-x-y+1)*z = 2(2xy-x-y+1)z-(2xy-x-y+1)-z+1 = 
              (1)    = 4xyz-2xz-2yz+2z-2xy+x+y-1-z+1 = 4xyz-2xy-2xz-2yz+x+y+z

(2)  x*(y*z) = x*(2yz-y-z+1) = 2x(2yz-y-z+1) -x-(2yz-y-z+1)+1= 
                  = 4xyz-2xy-2xz+2x-x-2yz+y+z-1+1 = 
               (2) = 4xyz-2xy-2xz-2yz+x+y+z
Deci (1) =(2)  => legea este asociativa

c) 
(1-x)*x = 2x(1-x)-(1-x) -x+1 =0
2x-2x^2-1+x-x+1=0
-2x^2+2x=0   => -2x(x-1)=0 
Deci x=0 sau 
x-1=0  => x=1