Question

Pe R se defineste legea de compozitie
X*y=xy-5(x+y)+30
A) sa se determine elementul neutru al legii de compozitie
B) sa se determine simetricul legii lui 2 in raport cu *
C) sa se verifice ca * este asociativa
D) sa se rezolve ecuatia x+y=x,x€R

Answer 1

A) Trebuie sa determinam elementul neutru e din relatia: x * e = e * x = x.
x * e = x e - 5 (x + e) + 30
e * x = e x - 5 (e + x) + 30
x * e = x, x e - 5 (x + e) + 30 = x, x e - 5x - 5e + 30 = x,
x (e - 5) - 5 (e - 6) = x, deci e = 6 element neutru.

B) Simetricul lui 2 in raport cu *. Vrem sa verificam relatia x * 2 = 2 * x = e.
x * 2 = x 2 - 5 (x + 2) + 30 = 2x - 5 (2 + x) + 30 = 6.
2x - 5 (2 + x) + 30 = 2x - 10 - 5x + 30 = -3x + 20 = 6, -3x = 6 - 20, -3x = -14,
x = 14 / 3.
Simetricul lui 2 in raport cu legea * este s = 14 / 3.

C) Deoarece legea admite element neutru e = 6 si element simetrizabil
s = 14 / 3, verificam daca relatia: (x * y) * z = x * (y * z) este satisfacuta.
(x * y) * z = (xy - 5 (x + y) + 30) * z (1)
Notam xy - 5 (x + y) + 30 = t. Relatia (1) devine:
t * z = tz - 5 (t + z) + 30 = [xy - 5 (x + y) + 30] z - 5 [xy - 5 (x + y) + 30 + z] + 30
= xyz - 5xz - 5yz + 30z - 5xy + 25x + 25y - 150 - 5z + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.

x * (y * z) = x * (yz - 5 (y + z) + 30) (2)
Notam y * z = yz - 5 (y + z) + 30 = u. Relatia (2) devine:
x * u = xu - 5 (x + u) + 30 = x [yz - 5 (y + z) + 30] - 5 [x + yz - 5 (y + z) + 30] +
30 = xyz - 5xy - 5xz + 30x - 5x - 5yz + 25y + 25z - 150 + 30 =
= xyz - 5xz - 5yz - 5xy + 25x + 25y + 25z - 120.
Deci legea * este asociativa.

D) x * y = x, dar la punctul A) x * e = x, deci y = e = 6. Deoarece y = 6, rezulta
ca x este un nr. real x = α, α ∈ R.