Question

Pe segmentul [AB] de lungime 4 cm se alege un punct M€(AB) și apoi se consideră punctul N mijlocul lui (MB). Se construiesc patratele P1, P2 și P3 de laturi (AM), (MN) și (NB). Determinati pozitia lui M pe (AB), astfel inca suma ariilor patratelor P1, P2 și P3 sa fie minima.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

MN ≡ NB

notăm MN = x => NB = x, AM = 4 - 2x

suma ariilor pătratelor P1, P2 și P3 de laturi (AM), (MN) și (NB):

$S = {(4 - 2x)}^{2} + {x}^{2} + {x}^{2} = 6 {x}^{2} - 16x + 16 = \\ = 6( {x}^{2} - \frac{16}{6}x + \frac{16}{6}) = \bf 6 {(x - \frac{4}{3} )}^{2} + \frac{16}{3}$

minimul sumei se realizează când:

$x - \frac{4}{3} = 0 \implies \bf x = \frac{4}{3}$

$AM = 4 - 2 \cdot \frac{4}{3} \implies \bf AM = \frac{4}{3} \: cm$

=> AM ≡ MN ≡ NB