Question

Pe semidreapta OX se iau în ordine punctele A ,B, C. Daca M,N,P mijloacele segmentelor [BC],[CA] și respectiv [AB] . Calculați valoarea raportului
OM+ON+OP
__________ supra. e fracție
OA+OB+OC

Answer 1

sa ne uitam de exemplu la P mijlocul lui AB. Avem atunci
$OP=OA+AP=OA+\frac{AB}{2}\Rightarrow 2OP=2OA+AB$
Si mai avem
$OA+OB=OA+OA+AB=2OA+OB$
Deci observam ca cele doua sunt egale
$2OP=OA+OB$ unde P este mijlocul lui AB.
Similar, se poate arata ca
$2OM=OB+OC$ unde M este mijlocul lui BC
$2ON=OA+OC$ unde N este mijlocul lui AC
Adunam cele 3 relatii astfel obtinute
$2(OM+ON+OP)=OA+OB+OB+OC+OA+OC=2(OA+OB+OC)\Rightarrow OM+ON+OP=OA+OB+OC$ daca numaratorul este egal cu numitorul, inseamna ca fractia este echiunitara, adica egala cu 1
$\frac{OM+ON+OP}{OA+OB+OC}=1$