Question

Pe un cerc de centru O si raza 5cm se iau punctele A si B, astfel incat m(AB)=120 grade.Tangentele in A si B la cerc se intersecteaza in C.Determinati lungimea segmentelor CO,BC.

Answer 1

Facem desenu' si ne rezulta niste Δ la care cunoastem niste unghiuri si niste laturi.
Deci:
se da
AOB = 120° din ipoteza
OA = OB = r = 5cm
Se duc tangente in B si A si intersectia lor este in C, cu BC = CA
si se cere
CO si BC
rezolvare
Sa notam cu D intersectia lui OC cu BA
Din BOA = 120° stim ca OAB = 30°
AD = OAcosOAB = rcos30°
Observam ca OAC = 90° deoarece este unghi de tangenta,
si deci unghiul DAC = 90° - OAB = 90° - 30° = 60°
Stim cu cat este egal AD,
AD = rcos30°
si putem calcula pe CA = CB si pe CO = CD + DO
Asadar
AD/AC = cosDAC => CA = AD/cos60° = (rcos30°)/cos60
Si din
CD/AC = sinDAC => CD = ACsin60° = ((rcos30°)sin60°)/cos60°
iar DO = OAcos(AOB/2) = rcos60°
CO = CD + DO = ((rcos30°)sin60°)/cos60° + rcos60° = r(((cos30°)tg60°) + cos60°)
Solutia este:
CA =CB = (rcos30°)/cos60°
CO = r(((cos30°)tg60°) + cos60°)