Question

Pentru:
a) f : R -> R cu f(x) = | x |;
b) f : [1/2, +infinit) -> [-9/4, +infinit), f(x)= x^2 - x - 2;
Sunt aceste functii bijective? Puteti sa imi aratati cum ati ajuns la raspunsul dvs.?

Please help.

Answer 1

Salut,

Funcția de la punctul a), nu este injectivă, pentru că pentru valori diferite ale lui x (de exemplu --5 și 5), funcția ia aceeași valoare f(--5) = |--5| = --(--5) = +5, iar f(5) = |5| = +5.

În schimb, dacă reprezinți grafic funcția de la punctul b (vei obține o parte dintr-o parabolă, pentru că x este definit de la 1/2 la +∞), iar o paralelă la axa orizontală OX intersectează acea parte dintr-o parabolă într-un singur punct, deci cel mai probabil că funcția este bijectivă.

Pentru a fi siguri de asta, să vedem dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.

Monotonia funcției ne arată că funcția are coeficientul lui x² egal cu 1 > 0, deci funcția este crescătoare pe intervalul [--b/(2a),  +∞).

--b/(2a) = +1/2, deci funcția este crescătoare chiar pe intervalul de definiție [1/2, +∞), deci este monotonă (adică crescătoare), deci este injectivă.

Dacă găsim și că mulțimea valorilor funcției coincide cu codomeniul [--9/4, +∞), înseamnă că funcția este și surjectivă, deci este bijectivă.

Știm că funcția este crescătoare, pe intervalul [1/2, +∞), deci valorile ei cresc de la valoarea funcției în punctul --b/(2a) la +∞.

f(--b/(2a)) = --Δ/(4a).

Știm deja că --b/(2a) = +1/2.

Δ = b² -- 4ac = (--1)² -- 4·1·(--2) = 1 + 8 = 0, deci Δ = 9 și a = +1.

Avem deci că f(+1/2) = --9/4, deci funcția ia valori de la [--9/4, +∞), care este exact codomeniul, deci funcția este clar surjectivă.

Așadar, funcția este injectivă + surjectivă, deci este bijectivă.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.