Question

Pentru ăştia olimpici la mate, am o problema destul de grea xD Fie triunghiul ABC cu AB=30 cm BC=51 cm si AC=63 cm. M apartine lui AB si BM=1/4AB, N apartine lui BC si 3BN=2BC si P aprtine lui AC, 7AP=AC. Care e aria triunghiului MNP?

Answer 1

Din BM=AB/4 =>BM=30/4=7,5 cm si AM=22,5 cm
Din 3BN=2BC =>3BN=102 =>BN=34 cm si NC=17 cm
Din 7AP=AC =>7AP=63 =>AP=9 cm si PC=54 cm
Semiperim ABC=(30+63+51)/2=144/2=72 cm

Aria ABC=√(72)(72-30)(72-63)(72-51)  *toata expresia este sub radical ! - formula lui Heron
Aria ABC=√(72·42·9·21)
Aria ABC=756 cm²
Mai stim ca Aria ABC=(AB·BC)sinB/2 =>sinB=(2·756)/(30·51) 
                                                                 sinB=1512/1530
                                                                 sinB=1 =>m(∡B)=90°
La fel sinC=(2·756)/(51·63)
          sinC=1512/3213
          sinC=0,47 =>m(∡C)≈35°
 
          sinA=(2·756)/(63·30)
          sinA=1512/1890
          sinA=0,8 =>m(∡A)≈55°

Cunoscand sinusurile unghiurilor A, B, si C si laturile formate de punctele M, N si P, calculam ariile triunghiurilor AMP, PNC si MBN.
Aria ΔMNP=Aria ABC-(Aria MBN+Aria PNC+Aria AMP).
Iti las placerea de a face singur calculele... ;)