Matematică, întrebare adresată de serbanandreeia, 8 ani în urmă

pentru ca stiu teoria dar practica nu... ma poate ajuta cineva ala exercitiul 2 subpunctul c va rog

Anexe:

Rayzen: Dar stim ca (1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7) sunt toate prime intre ele.
Notam pe b = a^{-1}, b diferit de 0, b apartine lui Z7 mai putin 0. (fiindca am vazut ca 1,2,3,4,5,6 sunt prime cu 7.

Ne folosim de subpunctul a).
f(b) = b^6+ab+5 = 1+a*a^(-1)+5 = 1+1+5 = 7 = 0

=> f(b) = 0 => polinomul f se divide in Z7[X] cu X-b, deci f e reductibil in Z

Rayzen: e adevarat*

Rayzen: Am demonstrat ca pentru x0 apartine 0,
f e reductibil.
Si am demonstrat ca pentru x0 apartine Z7 diferit de 0,
f e reductibil.

=> f e reductibil in Z7

Rayzen: Deoarece (1,7),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7) sunt toate prime intre ele, inseamna ca a^(-1) apartine Z7 \ {0}

Rayzen: a^{-1} apartine elementelor care sunt prime cu 7.

Rayzen: in Z7

serbanandreeia: si practic a la minus 1 este 0

serbanandreeia: scuze, ma voi uita cu atentie sa vad daca inteleg

Rayzen: Am pus raspunsul.

Rayzen: postat*

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de Rayzen

$f = X^6+aX+\hat{5}\in\mathbb{Z}_7[X] \\ \\ \\ \boxed{1}\quad a = \hat{0} \Rightarrow f = X^6+\hat{5} = (X^3-\hat{4})(X^3+\hat{4})\quad \text{de la punctul b)} \\ \Rightarrow f \text{ este reductibil pentru }a= \hat 0\\ \\ \boxed{2}\quad a\neq \hat{0}\Rightarrow \text{ a este inversabil.}\\ \\ (1,7);(2,7);(3,7);(4,7);(5,7);(6,7)\text{ sunt prime intre ele.} \\\\ \Rightarrow a^{-1} \in \{\hat{1},\hat 2,\hat 3,\hat 4,\hat 5,\hat 6\} \Rightarrow a^{-1}\in Z_{7}\backslash \{\hat{0}\} \\ \\ \text{Notam }a^{-1} = b,\quad b\neq \hat{0}.$

$f(b) = b^6+ab+\hat{5} = \hat{1}+a\cdot a^{-1}+\hat 5 = \hat{1}+\hat{1}+\hat{5} = \hat{0} \\ \\ \text{Conform teoremei lui Bezout, deoarece }f(b) = \hat{0},\\ \text{inseamna ca }f \text{ se divide cu }(X-b),\quad b\neq \hat{0}.\\ \\ \Rightarrow f \text{ este reductibil pentru }a\in \mathbb{Z}_7 \backslash \{\hat{0}\}.\\ \\ \text{Din }\boxed{1} \text{ si }\boxed{ 2 } \Rightarrow f\text{ este reductibil pentru }a\in \{\hat 0\}\cup (\mathbb{Z}_7 \backslash \{\hat{0}\}) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow f\text{ este reductibil pentru }a\in \mathbb{Z}_{7}.$