Question

Pentru ce valoare a parametrului real m , egalitatea
cos4x + (m+3)(sinx + cosx)² - 3m - 2=0 , NU este verificata de nici o valoare a unghiului x?

Answer 1

[tex]cos4x=cos(2x+2x)=cos^22x-sin^2x=1-2sin^2x\\ (sinx+cosx)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+sin2x\\ 1-2sin^2x+(m+3)(1+sin2x)-3m-2=0[/tex]
Notam sin2x=t si inlocuind in ecuatia de mai sus , dupa prelucrari obtinem:
$2t^2-(m+3)t+2m-2=0$
Aceasta egalitate nu este verificata de nici o valoare a unghiului x daca discriminantul ecuatiei de gradul II este mai mic decat 0.
Δ<0
[tex]m^2-10m+25<0\\ (m-5)^2<0(Fals)[/tex]
In concluzie, nu exista un numar real m pentru care egalitatea cos4x + (m+3)(sinx + cosx)² - 3m - 2=0 , nu este verificata de nici o valoare a unghiului x.