Question

Pentru ce valori ale lui m ∈ R are loc inegalitatea
x² − 2mx + m + 2 ≥ 0, ∀ x > 0.

Answer 1

Pai ai a = 1 > 0, deci trebuie sa impui ca Δ ≤ 0.
$\Delta=(-2m)^2-4(m+2)=4m^2-4m+8 \leq 0 \Rightarrow m^2-m-2 \leq 0$
[tex] \Rightarrow m^2-m-2 \leq 0.\\ \Delta '=1+8=9 \Rightarrow \left \{ {{m_1=\frac{1+3}{2}} \atop {m_2=\frac{1-3}{2}}} \right. \Rightarrow \left \{ {{m_1=2} \atop {m_2=-1}} \right. \\ a' = 1\ \textgreater \ 0 \Rightarrow m \in [-1, 2].[/tex]
Acesta ar fi cazul 1.
Cum x este mai mare ca 0, poti avea cele 2 radacini cel mult egale ambele cu 0, deci
$\begin{cases}P \geq 0\\S \leq 0\\\Delta \geq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m+2 \geq 0\\2m \leq 0\\ m \in[-\infty, -1] \cup [2,\infty] \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \geq -2\\m \leq 0\\ m \in[-\infty, -1] \cup [2,\infty] \end{cases} \\ \Leftrightarrow m \in [-2,-1]$.
Dar cum m putea fi si din [-1,2] rezulta ca m poate lua valori din [-2,-1] U [-1,2] = [-2,2].
Posibil sa fi gresit pe undeva..