Question

Pentru ce valori ale lui x, exista lg |x-1/x| ?

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Avem lg|x-1/x|.

Pentru ca logaritmul să aibă sens, condiția existența necesara este ca:

|x-1/x|>0

Știm că dacă avem |u(x)|>a, atunci trebuie îndeplinite simultan cele două condiții: -a<u(x) și u(x)>0, unde a este un număr real și u(x) o expresie matematica.

Așadar, exercițiul nostru este echivalent cu:

x-1/x>0 (condiția cu -0 ar fi echivalenta cu condiția pusa).

Acum, vine o mica parte de interpretare a exercițiului.

In modul cum este scris, putem interpreta ca fiind (x-1)/x>0 sau x-1/x>0.

Prezint in cele ce urmează ambele cazuri.

Daca avem (x-1)/x>0, atunci:

Aplicam semnul funcției de gradul 1.

Daca avem o funcție de gradul I f(x)=ax+b, atunci până la întâlnirea rădăcinii ecuației f(x)=0 avem semn contrar lui a, iar după întâlnirea rădăcinii ecuației f(x)=0 avem semnul lui a.

Facem tabel de semn:

__x__|-inf_______0______1_____inf

_x-1__|-------------------------------0+++++++

__x__|------------------0+++++++++++++++

(x-1)/x_|++++++++++|--------------0++++++

Cum pe noi ne interesează mulțimea de soluții când (x-1)/x>0, ne uitam in tabel unde avem semnul +. Atenție: pe 0 nu îl luăm deoarece avem inegalitate stricta.

Deci:

x€(-inf,0)U(1,inf)

Daca avem x-1/x>0, putem rescrie inecuația în așa fel incat sa avem o singura fracție și-anume:

(x²-1)/x>0

La fel, rezolvam inecuația cu tabel de semn.

Ținem cont, de aceasta data, și de semnul funcției de gradul al II-lea.

Daca avem o funcție de gradul al II-lea de forma f(x)=a²x+bx+c, cu a≠0, atunci distingem cazurile:

1) daca ∆>0, atunci intre radacinile ecuației f(x)=0 avem semn contrar lui a și în afara acestora semnul lui a (in acest caz ne vom situa);

2) daca ∆=0, atunci de o parte și de alta a rădăcinii duble a ecuatiei f(x)=0 avem semnul lui a;

3) daca ∆<0, atunci pe tot domeniul de definitie al funcției întâlnim semnul lui a.

__x__|-inf__-1____0______1____inf

_x²-1_|++++++0--------------------0++++++

__x__|------------------0+++++++++++++++

(x²-1)/x|----------0++++|-------------0++++++

Cum pe noi ne interesează mulțimea de soluții când (x²-1)/x>0, ne uitam in tabel unde avem semnul +. Atenție: pe 0 nu îl luăm deoarece avem inegalitate stricta.

Deci:

x€(-1,0)U(1,inf)