Question

Pentru ce valori reale ale parametrilor p si q polinomul X^4+4X^3-2X^2+pX+q este un patrat perfect.

Answer 1

Salut,

X⁴ + 4X³ -- 2X² + pX + q = (X² + aX + b)², sau

X⁴ + 4X³ -- 2X² + pX + q = X⁴ + a²X² + b² + 2X²aX + 2X²b + 2aXb, sau 

X⁴ + 4X³ -- 2X² + pX + q = X⁴ + 2aX³ +(a²+2b)X² + 2abX + b².

Dacă egalăm coeficienții din stânga cu cei din dreapta avem că:

- pentru X³ ar fi: 4 = 2a, deci a = 2;
- pentru X² ar fi: --2 = a² + 2b, sau --2 = 4 + 2b, deci b = --3.
- pentru X ar fi: p = 2ab, deci p = -- 12.
- pentru termenul liber ar fi: q = b² = 9.

Deci p = -- 12 și q = 9.

Verificare:

X⁴ + 4X³ -- 2X² + pX + q = X⁴ + 4X³ -- 2X² --12X + 9.

(X² + 2X --3)² = X⁴ + 4X² + 9 + 2·X²·2X -- 2X²3 -- 2·2X·3 = X⁴ + 4X³ -- 2X² --12X + 9.

Cei 2 membri din dreapta sunt identici, deci soluția este corectă.

Simplu, nu ? :-))).

Green eyes.