Question

Pentru clasa a 7-a.
Fie ABCD paralelogram, M si N mijloacele laturilor [BC] si [CD], E si F simetricele punctelor D si B fata de M si N.
Aratati ca: 
a) tripletele (A,B,E) , (A,D,F) si (F,C,E) sunt puncte coliniare
b) AC, DE si BF sunt concurente.

Answer 1

BECD este paralelogram (diagonalele se înjumătățesc)
Rezultă $BE||CD$. Dar $AB||CD$, deci A, B, E coliniare.
La fel se arată că A, D, F sunt coliniare, folosind paralelogramul BCFD.
$\widehat{FCD}=\widehat{BDC}$
$\widehat{BCE}=\widehat{CBD}$
Atunci suma unghiurilor cu vârful în C este egală cu suma unghiurilor triunghiului BCD, adică 180 grade. Rezultă că E, C, F sunt coloniare.

Se arată că triunghiurile BCE și DFC sunt congruente (BE=DC, BC=DF, <CBE=<FDG)
Rezultă FC=CE.
Atunci BF, DE și AC sunt mediane în triunghiul AEF, deci sunt concurente.