Question

Pentru fiecare din cazurile urmatoare justificati de ce ABCD este patrat (AC ∩ BD= {O}).

a)AB || CD, AD || BC, m(unghiului A)= 90 DE GRADE
b)AB=BC=CD=DA si CD ⊥ DA
c)AB=BC=CD=DA si AC=BD
d)unghiul DAO ≡ unghiul OAB ≡ unghiul ABO ≡ unghiul OBC ≡ unghiul BCO

Answer 1

a) In primul caz, deoarece laturile sunt paralele, rezulta ca ABCD este paralelogram, iar daca are un unghi de 90 de grade, inseamna ca ABCD este dreptunghi.
b)Deoarece AB=BC=CD=DA, rezulta ca ABCD este romb, iar daca CD perpendicular pe DA, inseamna ca este un romb cu unghi drept, adica ABCD este patrat.
c) AB=BC=CD=DA => ABCD Romb (de unde rezulta ca AC perpendicular pe BD)
Deoarece avem toate laturile egale si AC = BD, ne rezulta ca ABCD este un dreptunghi cu toate laturile egale, adica un patrat.
d) Deoarece toate unghiurile sunt egale si suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360 de grade, ne rezulta ca ABCD este un dreptunghi(are toate unghiurile de 90).
Deoarece avem DAO = OAB si DAB = 90 de grade, atunci DAO = OAB = 45 de grade.
De asemenea, avem si ADO si ABO tot de 45 de grade.
Triunghiul DAB este dreptunghic isoscel (are unghiurile ascutite egale), si deci rezulta ca laturile sunt egale, adica AB = AD.
Fiindca intr-un dreptunghi avem laturile opuse congruente, rezulta ca
AB = DC 
AD = BC
AB = AD
=> AB = BC = CD = AD, adica ABCD este patrat.