Question

Pentru fiecare numar natural n se considera numarul $I_{n}= \int\limits^2_1 { x^{n} } e^{x} \, dx$.

a)Calculati $I_{0}$
b)Aratati ca $I_{1} = e^{2}$
c)Demonstrati ca $I_{n+1} +(n+1) I_{n} = 2^{n+1} e^{2}-e$ , pentru orice numar natural n.

Answer 1

a)
$I_0= \int\limits^2_1 {e^x} \, dx =e^x|_1^2=e^2-e=e(e-1)$

b)
$I_1= \int\limits^2_1 {xe^x} \, dx$
Integram prin parti, consideram pe $e^x$ ca fiind derivata lui $e^x$ si derivata se va muta pe x, adica
$I_1=xe^x|_1^2- \int\limits^2_1 {e^x} \, dx =2e^2-e-e^x|_1^2=2e^2-e-e^2+e=e^2$

c) In partea stanga avem

$\int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +(n+1) \int\limits^2_1 {x^ne^x} \, dx$

In a doua integrala vom considera pe $x^n$ ca fiind derivata lui $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ si vom face integrala a doua prin parti, adica avem in final in partea stanga:
$\int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +(n+1) \int\limits^2_1 { (\frac{x^{n+1}}{n+1})'e^x } \, dx = \\ \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx + \int\limits^2_1 {(x^{n+1})'e^x} \, dx = \\ \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx +x^{n+1}e^x|_1^2- \int\limits^2_1 {x^{n+1}e^x} \, dx$

Observam ca integrala se simplifica si ramanem cu
$x^{n+1}e^x|_1^2=2^{n+1}e^2-e$
Adica exact ce era de demonstrat.