Question

*Pentru matricea C=$\left(\begin{array}{ccc}4&6&\\2&3&\\\end{array}\right)$ demonstrati ca C²-7C= -det(C)i₂.

*Demonstrati inegalitatea $\left[\begin{array}{ccc}a+1&-2&\\2&a-1&\\\end{array}\right]$>0 pentru orice a∈R.

Answer 1

$\text{Folosteti identitatea Cayley-Hamilton:}\text{Pentru orice patrice patratica A}\\\text{de forma 2x2 este valabila urmatoarea relatie:}\\\boxed{\bold{A^2-tr(A)\cdot A+det(A)\cdot I_2=O_2}}\\\text{In cazulde fata: }tr(A)=3+4=7\text{,deci egalitatea este adevarata.}\\\text{Se poate demonstra si prin calcul direct.}\\\\\left[\begin{array}{ccc}a+1&-2\\2&a-1\end{array}\right] >0\\(a+1)(a-1)+4>0\\a^2-1+4 >0\\a^2+3>0 ,\text{evident, deoarece }a^2\geqslant 0$