Question

Pentru n=N* notam cu Pn produsul divizorilor naturali ai numarului n. Determinati n cu proprietatea ca Pn=6^1575.

Answer 1

6^1575=2^1575*3^1575

n =2^a *3^a
Dn\{1}= (2;2²;2³...2^a; 3;3²;3³...3^a; 2*3;2*3²;2 * 3³...2*3^a;2²*3;2²*3²;2²*3³....2²*3^a.......2^a*3;2^a*3²;2^a *3³.....2^a*3^a)

π Dn=2^b * 3^(1+2+3+...+a)(a+1) pt ca suma puterilor lui 3, si anume 1+2+3+..+a se aduna pt fiecare putere a lui 2 si anume 0;1;2...a
exponentul lui 2nu l-am mai scris detailat, din considerente de simetrie si pt ca informa in careeste ordonat 2-ul mi-a fost mai dificil
unde prin πDn am inteles produsul divizorilor lui n


din considerentede simetrie puterea lui 2 va fi egala cu cea a lui 3
 dar asa cum le-am ordonat n mi-a fost mai usor sa iau puterea lui 3
a(a+1)(a+1)/2=1575

 a(a+1)²=1575*2=5*315*2=25*63*2=25*9*7*2=5²*3²*7*2 =
(5*3)² *14=14*15²

a=14 , a+1=15 verifica; extinsa la R functia este crescatoare pt , solutia este unica

deci

n=2^14*3^14