Question

Pentru numerele reale dinstincte a,b,c se defineste functia
f: R→R, f(x)= $\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ + $\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$. Demonstrati ca functia f este constanta.

Answer 1

Salut,

Numitorul comun poate fi (a-b)(b-c)(c-a).

$f(x)=\frac{(-1)(a-b)(x-a)(x-b)+(-1)(b-c)(x-b)(x-c)+(-1)(c-a)(x-c)(x-a)}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}=\\=\frac{(b-a)(x^2-ax-bx+ab)+(c-b)(x^2-bx-cx+bc)+(a-c)(x^2-ax-cx+ac)}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}=\\=\frac{bx^2-abx-b^2x+ab^2-ax^2+a^2x+abx-a^2b}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}+\frac{cx^2-bcx-c^2x+bc^2-bx^2+b^2x+bcx-b^2c}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}+\\+\frac{ax^2-acx-a^2x+a^2c-cx^2+c^2x+acx-ac^2}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}=\frac{ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+a^2c-ac^2}{(a-b)\cdot(b-c)\cdot(c-a)}=\\=\frac{ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+a^2c-ac^2}{(a-b)\cdot(bc-ab-c^2+ac)}=\frac{ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+a^2c-ac^2}{abc-a^2b-ac^2+a^2c-b^2c+ab^2+bc^2-abc}=\\=\frac{ab^2-a^2b+bc^2-b^2c+a^2c-ac^2}{-a^2b-ac^2+a^2c-b^2c+ab^2+bc^2}=1,\;care\;este\;constant.$

Expresia de la final nu mai depinde de x, deci funcţia f(x) este constantă.

Green eyes.