Question

Perimetrul rombului ABCD cu ∡ABC=120° este de 40 cm. Fie O∈AC∩BD, M∈AB astfel încât ∡AMO=105°, P∈OM∩CD, N simetricul lui M față de dreapta BD și Q∈ON∩AD. Stabiliți natura patrulaterului MNPQ.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ABCD romb, Dacă ∡ABC=120°, ⇒∡BAD=60°, Diagonalele sunt și bisectoare deci ΔABD echilateral. MN⊥BD, MN∩BD=E, ME=EN, BE catetă comună, deci ΔMBE≡ΔNBE, ⇒MB=NE, ⇒ΔMBN isoscel cu baza MN la care avem unghiuri egale, ⇒∡BMN=(180°-120°):2=30°.

În ΔBAC, ∡BAC=30°. Deoarece ∡BAC=∡BMN, ⇒MN║AC.

La fel se arată că MQ║BD. Deci MNPQ paralelogram.

Deoarece AC⊥BD, ⇒ MN⊥MQ, ⇒MNPQ dreptunghi.

În ΔAMO, ∡A=30°, ∡M=105°, ⇒∡AOM=45°. Atunci, în ΔMOE, ∡M=∡O=45°, deci OE=ME. În ΔMNQ, OE este linie medie, deci MQ=2·OE=2·ME=MN ⇒MNPQ este pătrat.