Question

Perpendicularele duse în mijloacele laturilor [AB] și [AC] ale triunghiului ABC se intersectează în M. Demonstrați: MB=MC
VĂ ROOOOOG

Answer 1

Consideram ΔABC-Δisoscel astfel incat AB=AC.
Notam D-mijlocul [AB]⇒AD=DB si E-mijlocul [AC]⇒AE=EC.
AB=AD+DB
AC=AE+EC
⇒AD+DB=AE+EC;
AD=DB 
AE=EC
2DB=2EC⇔DB=EC;
2AD=2AE⇔AD=AE;
M=intersectia perpendicularelor duse din mijloacele laturilor AB si AC.
Obtinem ca
ΔBMF:Δdreptunghic m(<M)=90 de grade;
ΔCMH:Δdreptunghic m(<M)=90 de grade;
ΔBMF≡ΔCMH(deoarece m(<B)=m(<C) si BF=CH)⇒C.U.(cateta-unghi)
MB=MC;

Answer 2

Fie E și F mijloacele lui AB, respectiv AC.

EM  este mediatoarea segmentului [AB] ⇒ MA = MB    (1)

FM  este mediatoarea segmentului [AC] ⇒ MA = MC    (2)

Din relațiile (1),( 2) ⇒ MB = MC  [q. e. d.]

Am folosit proprietatea că :

Oricare punct de pe mediatoarea unui segment  se află la distanțe egale de capetele segmentului.