Question

perpendicularele in B si C pe laturile [AB ] si [AC] ale triunghiului isoscel ABC de baza [BC ]se intersecteaza in punctul T . Demonstrati ca dreapta AT este mediatoarea segmentului [ BC]
va rog ajutati.ma repede am nevoie

Answer 1

ABC isoscel, inseamna ca si unghiurile sunt congruente
$\angle{ABC}=\angle{ACB}$(1)
Stim ca dreptele BT si CT sunt perpendiculare pe AB si AC, atunci
$\angle{ABT}=\angle{ACT}=90$(2)
Dar unghiurile respective sunt sume de unghiuri individuale
$\angle{ABT}=\angle{ABC}+\angle{CBT}${3}
$\angle{ACT}=\angle{ACB}+\angle{BCT}${4}
Din cele 4 relatii rezulta ca cele 2 unghiuri din BCT sunt congruente
$\angle{CBT}=\angle{BCT}$ adica triunghiul BCT este isoscel

stabilim D mijlocul laturii BC. Ducem medianele AM din triunghiul ABC, si TD din triunghiul BCT
ABC este isoscel, atunci AM este si mediana si inaltime in triunghi,AM perpendiculara pe BC deci
$\angle{ADB}=90$
BCT este isoscel, atunci TD este si mediana si inaltime in triunghi,TD perpendiculara pe BC deci
$\angle{BDT}=90$
Daca le adunam pe cele doua obtinem
$\angle{ADB}+\angle{BDT}=\angle{ADT}=90+90=180$ ceea ce inseamna fie ca segmentele AD si DT sunt paralele, fie punctele A,D si T sunt coliniare.
dar stim ca cele 2 segmente au punctul comun D, inseamna ca nu pot fi paralele, deci A,D,T sunt coliniare.
Deci D mijlocul lui BC apartine dreptei AT care este si perpendiculara pe BC, inseamna ca AT este mediatoarea lui BC