Question

Piramida patrulateră regulată VABCD are apotema VM, cu M€BC. Punctul O este centrul bazei piramidei. Daca VM = AB = 12 cm, calculați:
a)aria secțiunii diagonale a piramidei; b)suma lungimilor proiecțiilor tuturor muchiilor pe planul bazei.
Ofer maximul de puncte!!!​

Answer 1

a) Piramida patrulateră regulată are baza un patrăt, AC este diagonală in patrăt => $AC=12\sqrt{2}$ cm.

VM - apotemă piramidei => VM  este înălțime și mediatoare în ΔVCB -isocel => CM=BM= 6 cm

Aplicăm Teorema lui Pitagora în Δ VMC => $VC=\sqrt{36+144} =\sqrt{180} =6\sqrt{5}$ cm

În ΔVAC aplicăm formula lui Heron pentru arie $A=\sqrt{p*(p-a)(p-b)(p-c)}$  a,b,c lungimile laturilor unui Δ oarecare, p semiperimetrul.

$p=\frac{ AV+VC+AC}{2} =\frac{6\sqrt{5} +6\sqrt{5} +12\sqrt{2} }{2}==\frac{12\sqrt{5} +12\sqrt{2}}{2} =6\sqrt{5} +6\sqrt{2} cm$

Înlocuind în formulă se obține $A=36\sqrt{6}$ cm.

b) Muchiile unei piramide patrulatere regulate sunt egale: VA=VB=VC=VD=$6\sqrt{5}$ cm

Suma lor este : $S= 36\sqrt{5}$ cm