Question

Piramida patrulatera vabcd, de varf v are aria laterala 288cm la 2 si unghiul format de planele (vbc) si (vad) are masura de 60 de grade.
a) masura unghiului format de planele (vbc) si (abc).
b) volumul piramidei.
c) valoarea tangentei unghiului format de muchia laterala cu planul bazei.
d) distanta de la mijlocul inaltimii [vo] la planul (vbc).
VA ROOOG, URGENT<3 MS// DAU COROANA.

Answer 1

a)

Ducem VM⊥BC și VN⊥AD.

∡ [(VBC), (VAD)] = ∡(VM,  VN) =60°

Ducem VO - înălțimea piramidei ⇒ VO - bisectoare pentru ∡(MVN) ⇒

⇒ m∡(MVO) =60°/2 = 30°

Triunghiul VOM este dreptunghic în O și are unghiul din V egal cu 30°, deci laturile lui pot fi notate : OM = x,  VM = 2x,  VO = x√3.

BC = AB = 2·OM = 2x

Aria laterală se scrie astfel:

4·Aria(VBC)=288 ⇒ 4·BC·VM/2 = 288 ⇒2·2x·2x = 288 ⇒ 8x²=288 ⇒

⇒ x²=36 ⇒ x = 6

Deci: AB = 2·6 = 12cm,  h = VO = 6√3 cm

∡ [(VBC), (ABC)] = ∡(VM,  OM) = 60°

b)

$\it \mathcal{V}=\dfrac{\mathcal{A}_b\cdot h}{3}=\dfrac{144\cdot6\sqrt3}{3}=288\sqrt3\ cm^3$

c) BD = 12√2 cm (diagonala pătratului ABCD) ⇒ BO = 6√2 cm

$\it m[\widehat{VB,\ (ABC)}] =m(\widehat{VB,\ BO})\\ \\ tg(\widehat{VB,\ BO}) =\dfrac{VO}{BO} =\dfrac{6\sqrt3}{6\sqrt2}=\dfrac{^{\sqrt2)}\sqrt3}{\ \sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{2}$

d)

Fie OF- distanța de la O la (VBC) ⇒ OF = înălțime corespunzătoare ipotenuzei în ΔVOM.

OF = OM·VO/VM = 6·6√3/12=3√3 cm.

Distanța de la mijlocul înălțimii VO la planul (VBC) va fi egală cu lungimea liniei mijlocii paralelă cu OF în ΔVOM, adică va fi gală cu 3√3/2 cm