Question

Piramida triunghiulară regulată ABCD are baza ABC cu AB = 6 cm și AD=5 cm. Punctele M si N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv AD. a) Calculaţi înălțimea și apotema piramidei. b) Calculati sinusul unghiului dintre dreapta MN și dreapta DC c) Calculati lungimea proiecției segmentului MN pe planul (ABC).​

Answer 1

AB=6 cm

AD=5 cm

M mijlocul lui AB

N mijlocul lui AD

• Din cele 2 rezulta ca MN este linie mijlocie in ΔDAB⇒

$MN=\frac{BD}{2} =\frac{5}{2}$

a)

Trebuie sa calculam DO=inaltime si DF, DF⊥BC, DF=apotema piramidei

AF este inaltime in triunghiul ABC echilateral

$AF=\frac{AB\sqrt{3} }{2} =3\sqrt{3}$

Apotema bazei, OF este situata la o treime de baza, adica

$OF=\frac{1}{3}\times AF=\frac{1}{3}\times 3\sqrt{3} =\sqrt{3}$

AO=3√3-√3=2√3 cm

• In ΔDOA, dreptunghic in O, aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

AD²=DO²+AO²

25=DO²+12

DO=√13 cm

• In ΔDOF, aplicam Pitagora

DF²=DO²+OF²

DF²=13+3=16

DF=4 cm

b)

Asa cum am specificat mai sus, MN este linie mijlocie⇒ MN║BD

∡(MN, BC)=∡(BD,BC)=∡DBC=∡DBF

In ΔDBF calculam sinusul:

$sinDBF=\frac{DF}{BD} =\frac{4}{5}$

c)

$Pr_{(ABC)}MN=ME$

$pr_{(ABC)}N=E$

$pr_{(ABC)}M=M$

• Ducem NE⊥AC, AC⊂(ABC)

AN=ND=$\frac{5}{2}$

• Ducem DP⊥AC, P mijlocul lui AC

AP=PC=3 cm

DP este apotema piramidei si este egala cu DF

DP=4 cm

NE║DP⇒

$\frac{AN}{AD} =\frac{AE}{AP} =\frac{NE}{DP} \\\\\frac{1}{2}=\frac{NE}{4}\\\\ NE=2\ cm$

NE⊥AC

AC⊂(ABC)⇒ NE⊥(ABC)⇒NE⊥ME, ME⊂(ABC)

• Aplicam Pitagora in ΔNEM

MN²=NE²+ME²

$ME^2=\frac{25}{4} -4\\\\ME^2=\frac{9}{4}\\\\ ME=\frac{3}{2}\ cm$