Question

Please help me ..

Fie ABC triunghi si C cerc circumscris triunghiului. Prelungirile inaltimilor din A si din B se intersecteaza cercul in punctele D respectiv E.
Aratati ca :
a) BC e bisectoarea unghiului EBD ;
b) masura arcului AB + masura arcului CD = 180 grade.

Answer 1

Sa notam cu F∈ BC piciorul inaltimii duse din A si cu G piciorul inaltimii duse din B,  G ∈ AC
1)
Observam doua Δ asemenea, ΔCFA ≈ΔCGB si rezulta egalitatea de arce: arcDC = arcDE si de aici egalitatea de unghiuri: DBC = CBE, de unde BC bisectoare in DBE.
La fel si pentru DAE, din arcDC = arcCE, rezulta in final AC bisectoare a sa.
2)
AD _|_BC din ipoteza => BFA = CFD = 90° => arcAB + arcDC = 180°

Answer 2

Vom folosi teorema: Masura unghiului cu farful in interiorul cercului, este egala cu semisuma arcelor cuprinse intre laturile sale:

$m(\widehat{AFB})=90^{\circ}\Rightarrow m(arcAB)+m(arcDC)=180^{\circ}\ \ (*)$ (aici am rezolvat punctul b.)

$m(\widehat{AGB})=90^{\circ}\Rightarrow m(arcAB)+m(arcEC)=180^{\circ}\ \ \ (**)$

Din $(*)\ si \ (**)\Rightarrow m(arcEC)=m(arcDC)\Rightarrow (BC\ bisectoare \ pentru \ \widehat{EBD}$