Question

Pls ajutati ma dau coroana !
Determinati numerele naturale x , y stiind ca y ^2 + y = 2 ^ x + 5111

Answer 1

y(y+1) =x²+5111

x², ca putere a lui 2, pt x≥1, este PAR

5111- IMPAR

y²+y=x²+5111⇒
⇒ y(y+1)=5111+1=5112=2³*3²*71=8*9*71=72*71=71*72

 y=71

S={(x,y)}={(0,71)}

Sper ca te am ajutat!!!

Answer 2

Deci asa gen de probleme se fac in baza unor observatii.

1)Vom studia ultima cifra cu care se termina y^2+y :
ultima cifra a numarului y                    ultima cifra a numarului y^2+y
.........0                                         ->      ..............0
.........1                                         ->      ..............2
.........2                                         ->      ..............6
.........3                                         ->      ..............2
.........4                                         ->      ..............0
.........5                                         ->      ..............0
.........6                                         ->      ..............2
.........7                                         ->      ..............6
.........8                                         ->      ..............0
.........9                                         ->      ..............0

Deci observam ca ultima cifra a numarului y^2+y poate fi  {0 ,2 ,6}

2) Acum vom studia cu se termina numarul 2^x + 5111
    *) Analizam pentru x diferit de 0
        Pentru orice numar x diferit de 0 numarul 2^x se va termina doar in cifrele
          {2,4,8,6}  (ele repetinduse din 4 in 4)
                           (exemplu : 2 ,4 ,8 ,16, 32, 64,128,256 ....)
         Prin urma numarul 2^x+511   se va termina in cifrele (3,5,9,7) dar nici una            dintre aceste cifre nu satisface conditiile problemei . (deoarece noi                      trebuie sa gasim x pentru care 2^x+511 s-ar finisa in 0 sau 2 sau 6 din                pasul 1))
    *) Analizam pentru x=0
       Varianta ramasa x=0 satisface conditiile problemei deoarece 2^0 = 1 iar 5111 + 1 = 5112  (se termina in cifra 2 care apartine multimii {0,2,6})

3) Rezolvam ecuatia patrata
   y^2 +y - 5112 = 0
   y = 71   sau   y=-74
Deoarece y e natural rezulta ca y=71 e singura solutie

Raspuns : x=0, y=71