Pls ex 48 dau coroana
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
48. a)Vom grupa termenii 3 câte 3.
Avem 1+2¹+2²+2³+...+2⁵⁰=
=(1+2¹+2²)+(2³+2⁴+2⁵)+...+(2⁴⁸+2⁴⁹+2⁵⁰)
=(1+2¹+2²)+2³(1+2¹+2²)+...+2⁴⁸(1+2¹+2²)
=(1+2¹+2²)(2²+2⁶+...+2⁴⁸)
=(1+2+4)(2²+2⁶+...+2⁴⁸)
=7(2²+2⁶+...+2⁴⁸), care este divizibil cu 7.
b)Vom grupa termenii 2 câte 2.
Avem 3²+3³+...+3¹⁰¹=
=(3²+3³)+(3⁴+3⁵)+...+(3¹⁰⁰+3¹⁰¹)
=(3²+3³)+3²(3²+3³)+...+3⁹⁸(3²+3³)
=(3²+3³)(3²+3⁵+...+3⁹⁸)
=(9+27)(3²+3⁵+...+3⁹⁸)
=36(3²+3⁵+...+3⁹⁸)=3×12(3²+3⁵+...+3⁹⁸), care este divizibil cu 12.
c)Pentru usurinta vom da prima data factor comun 5 și vom aplica aceeasi metoda ca la a).
Avem 5²+5³+...+5²⁰²⁰=5¹(5¹+5²+...+5²⁰¹⁹)=
=5[(5¹+5²+5³)+(5⁴+5⁵+5⁶)+...+(5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁸+5²⁰¹⁹)]
=5[(5¹+5²+5³)+5³(5¹+5²+5³)+...+5²⁰¹⁶(5¹+5²+5³)]
=5(5¹+5²+5³)(5³+5⁶+...+5²⁰¹⁶)
=5(5+25+125)(5³+5⁶+...+5²⁰¹⁶)
=5×155(5³+5⁶+...+5²⁰¹⁶)=5×5×31(5³+5⁶+...+5²⁰¹⁶), care este divizibil cu 31.