Question

Pls
Mâine am meditații

Answer 1

Stim ca in general media geometrica este mai mica sau egala decat media aritmetica deci pentru 2 numere x,y avem
$m_{g}\leq m_{a}\Rightarrow \sqrt{x*y}\leq \frac{x+y}{2}$
in cazul nostru stim ca
$a_{1}+a_{2}+..+a_{n}=1\Rightarrow a_{2}+a_{3}+..+a_{n}=1-a_{1}$
ceea ce observam ca este primul radical din suma
$\sqrt{a_{1}(a_{2}+a_{3}+..+a_{n})}=\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}$
Atunci suma din stanga arata
$\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}+\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}+..+\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}$
Daca aplicam inegalitatea de mai sus pentru fiecare dintre radicali obtinem
$\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}=\frac{a_{1}+1-a_{1}}{2}\leq \frac{1}{2}$
$\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}=\frac{a_{2}+1-a_{2}}{2}\leq \frac{1}{2}$
-----------------------------------------------------------------------------------
$\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}=\frac{a_{n}+1-a_{n}}{2}\leq \frac{1}{2}$
Daca adunam cele n relatii de mai sus rezulta ca
$\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}+\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}+..+\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{n}{2}$