Question

plsssssssssssssssss repede ajutor AJUTOR URGENT​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Demonstrație prin inducție matematică:

1. Etapa de verificare: se verifică dacă propoziţia P(1) este adevărată:

$P(1) : 1^{3} = \dfrac{1^{2}(1 + 1)^{2}}{4} \iff 1 = \dfrac{4}{4} \\ \iff 1 = 1 \ \ (A) \implies P(1) \ (A)$

2. Etapa de demonstrație: se presupune că propoziţia P(k) este adevărată:

$P(k) \ (A) : \ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + k^{3} = \dfrac{k^{2} \cdot {(k + 1)}^{2} }{4}$

şi se demonstrează că P(k+1) este adevărată:

$P(k+1) : \ \underbrace{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + k^{3}}_{P(k)} + (k + 1)^{3} =$

$= \dfrac{k^{2} \cdot {(k + 1)}^{2} }{4} + (k + 1)^{3} = \dfrac{k^{2} \cdot {(k + 1)}^{2} + 4(k + 1)^{3}}{4}$

$= \dfrac{{(k + 1)}^{2}(k^{2} + 4k + 4)}{4} = \dfrac{{(k + 1)}^{2} \cdot (k + 2)^{2}}{4}$

$= \dfrac{{(k + 1)}^{2} \cdot [(k + 1) + 1]^{2}}{4}$

$P(k+1) \ (A) \implies P(n ) \ (A) \ \forall n \in \mathbb{{N}^{\ast}}$

q.e.d.