Question

poate cineva sa-mi explice pas cu pas cum se rezolva ex 3? ​

Answer 1

$E = \sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt x} \\ \\ a = \sqrt[3]{3+\sqrt{x}},\quad b = \sqrt[3]{3-\sqrt x} \\ \\ a^3+b^3 = 6 \\ (a+b)(a^2-ab+b^2) = 6 \\ (a+b)\Big[(a+b)^2-3ab\Big] = 6 \\ E\Big(E^2-3\sqrt[3]{9-x}\Big) = 6 \\ \\ E^3-3E\sqrt[3]{9-x}-6 = 0$

Este clar că pentru ca ecuația de gradul III să aibă soluție naturală, trebuie ca E sa fie multiplu de 6 (multiplul coeficientului liber).

$\boxed{1}\quad E = 1 \Rightarrow 1-3\sqrt[3]{9-x} -6 = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow 3\sqrt[3]{9-x} = -5\Rightarrow 9-x =\dfrac{-125}{27} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x =\dfrac{125+9\cdot 27}{27} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{368}{27}}$

$\boxed{2}\quad E = 2 \Rightarrow 8-6\sqrt[3]{9-x}-6 = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 6\sqrt[3]{9-x} = 2 \Rightarrow 9-x = \dfrac{1}{27} \Rightarrow x = \dfrac{9\cdot 27-1}{27} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{242}{27}} \\ \\ \boxed{3}\quad E = 3 \Rightarrow 27 - 9\sqrt[3]{9-x}-6=0,\quad (F)\quad x>0 \\ \boxed{4}\quad E = 6 \Rightarrow 64 - 18\sqrt[3]{9-x}-6=0,\quad (F)\quad x>0\\ \\ \\\Rightarrow x\in \Bigg\{\dfrac{242}{27}, \,\dfrac{368}{27}\Bigg\}$